华为开始做手机的时间是 2003年。具体发展历程如下：

2003年7月，华为技术有限公司设立了手机业务部。

2003年11月，华为手机部门推出了第一款产品A616。

2004年2月，华为参加了法国戛纳3GSM大会，并携带了中国首款WCDMA手机参展。

2004年，华为推出首款WCDMA手机，标志着华为正式进入智能手机市场。

2009年，华为推出首款Android智能手机Y600，正式进入智能手机市场。

2010年12月，华为决定不再主做运营商定制机，而是转向开放市场，打造自己的手机品牌。

通过以上信息，可以明确看出华为在2003年开始进入手机市场，并通过不断的技术创新和市场拓展，逐渐发展成为全球领先的智能手机制造商之一。